上一篇解决的是中心该选谁。但两个中心一样的变量，处境可能完全不同——这时缺的不是另一个中心，而是另一个维度。

同一个平均数，两种处境

两家门店过去五周的营业额（万元）：A 是 48、49、50、51、52；B 是 20、40、50、60、80。

两边平均数都是 50。但 A 最差的一周只差 2 万；B 有三周离 50 差 10 万以上，最差掉到 20 万。按“平均 50 万”备货排班，A 基本没错；B 有一半的周要么断货要么压库存。所以要补上的是这个数：这些值离中心散得有多开。

描述分散有两条路

“散得开不开”问的是离中心有多远，而中心有两种，远也有两种数法，正好两两配对。

绘制中

标准差：把离中心的距离收集起来

标准差跟平均数是一伙的。以门店 A 为例：

  1. 每个数减平均数 50，得到偏差 −2、−1、0、1、2。偏差有正有负，直接相加永远是 0，没法用。
  2. 平方，让正负都算数：4、1、0、1、4。
  3. 求平均：10 ÷ 5 = 2，这个数叫 方差。
  4. 开方：2≈1.4\sqrt{2}\approx 1.4，单位回到万元，这就是 标准差。

门店 B 的偏差是 −30、−10、0、10、30，平方后是 900、100、0、100、900，和是 2000，除以 5 得 400，开方是 20。

于是 A 的标准差约 1.4 万，B 是 20 万。

关键在第 2 步：离中心 2 倍远的点，在平方和里占到 4 倍；10 倍远，占到 100 倍。标准差和平均数一样是“距离驱动”的，只是平均数按距离加权，标准差按距离的平方加权，对极端值更敏感 1。

四分位距：只数位次

四分位距跟中位数是一伙的。把数据排好，取第 25 百分位（p25）和第 75 百分位（p75），相减：

IQR=p75−p25\text{IQR} = p75 - p25

A 排序后是 48、49、50、51、52，中间一半落在 48.5 到 51.5 之间，跨了 3；B 是 20、40、50、60、80，p25 是 30，p75 是 70，IQR 是 40。含义就是一句话：中间一半的数据跨了多宽 2。（不同软件算百分位的方法略有差别，差一两个数不影响结论。）

它只用两个位置上的值，跟这两个值多大没关系，跟两头多极端也没关系。把 B 的最大值从 80 改成 800，只要它还排最后，IQR 一动不动。

A、B 的数据左右对称，所以这两个指标讲的是同一个故事。分歧出现在分布变歪的时候。

分布一歪，两个数就说不同的话

用上一篇那批响应时间：1000 次请求，988 次用了 52 毫秒，12 次用了 2400 毫秒，平均数是 80 毫秒。

标准差：988 次那边的偏差是 −28 毫秒，平方约 794；12 次那边偏差约 2320 毫秒，平方约 538 万。乘上各自次数相加，那 12 次请求一个人就占了平方和的约 98.8%。除以 1000 再开方，标准差约 256 毫秒。

四分位距：988 个数都等于 52，p25 和 p75 都落在这一堆里，IQR = 0。

同一批数据，标准差 256 毫秒说“分散得比平均数还大”，IQR 0 毫秒说“中间一半人毫秒不差”。两个都没算错，它们量的是分布的不同部位：256 描述尾部那几个极端值，0 描述中间 98.8% 有多整齐。

所以要记住的是：一个分散程度的数字，只有知道它描述的是哪一段数据时才有意义。

标准差在哪里会误导人

一、“平均数 ± 一个标准差”可能指向不存在的值。 刚才那批请求，80±25680 \pm 256 就是 −176 到 336 毫秒。这不是巧合：响应时间、收入这类变量下面有硬边界（不能小于 0），上面没有，分布天然右偏；偏得越厉害，标准差越大，越容易超过平均数本身，区间左端就掉到 0 以下。收入数据也是这样：平均数 24,000 美元、标准差 27,500 美元，减出来是 −3,500 美元，而一个负收入也没有 3。

二、“68% 的数据落在平均数上下一个标准差内”只在钟形对称分布里成立。 这条规则来自正态分布的形状，数据一歪就不适用 4。

三、标准差带着单位。 同一个东西换成不同单位，标准差跟着变，量级不同的两批数据不能直接比。

四分位距在哪里会误导人

一、它把两头丢掉了。 那批请求 IQR = 0，但同时有 1% 的人等了 2.4 秒。把 IQR 当稳定性指标，会得出一份完全错误的报告。关注体验、风险、达标线时，p95、p99 必须单独报。

二、它只用了两个点。 你看不到中间那一半里面是什么形状，也看不到两头到底有多远。

三、它不能合并。 两个组的 IQR 合不出整体的 IQR。

四、它对“变得更糟”没反应。 最慢的请求从 2.4 秒变成 24 秒，IQR 还是 0。

怎么选、怎么报

沿用配对逻辑：报平均数就配标准差，报中位数或分位数就配 IQR 或更多分位数。 它们是同一思路的产物——按距离算一对，按位次算一对。

实际判断顺着三个问题走：

  1. 数据大致对称吗？ 看最小值、最大值和几个分位数就能判断外形。对称 → 平均数加标准差；右偏 → 中位数加 IQR。
  2. 尾部重不重要？ 做告警线、体验指标、风险判断时永远重要，那就额外报 p95、p99。
  3. 结论要不要跟总量对账？ 成本、产能、库存这类要跟总量对上的数，用平均数配标准差。

最省事也最不容易出错的写法，是直接报一组分位数。那批请求写成“p50 = 52 毫秒，p90 = 52 毫秒，p99 = 2400 毫秒”，比“平均数 80 毫秒、标准差 256 毫秒”清楚得多，也不用担心读者以为 80 毫秒是某个用户真实等过的时间。

只给一个数，等于替读者决定了哪一段数据不重要。把散开的程度和它描述的位置一起写出来，结论才站得住。