需求价格弹性：同一条需求曲线上，为什么涨价有时多赚、有时少赚

咖啡店老板拿着价目表问你：一杯 20 元，一个月卖 100 杯，营业额 2000 元。涨到 30 元，是不是每月能收 3000 元？

查完账：30 元时只卖 90 杯，营业额 2700 元，比原来多。老板说那就再涨，涨到 90 元。这次 30 杯，营业额还是 2700 元，客人还被赶走了。

两次都是“价格涨 10 元、销量少 10 杯”，一次多赚 700 元，一次少赚 500 元。决定方向的是：销量掉的百分比和价格涨的百分比谁更大。这个比值就是需求价格弹性。

两次涨价，同样的 10 元和 10 杯

换成百分比，矛盾马上消失，因为两个变化的基数完全不同。

第一次，20 元涨到 30 元，价格涨了 50%；销量从 100 杯掉到 90 杯，只掉了 10%。价格涨得比销量掉得快，营业额跟价格走。

第二次，80 元涨到 90 元，价格只涨了 12.5%；销量从 40 杯掉到 30 杯，掉了 25%。销量掉得比价格涨得快，营业额跟销量走。

所以“涨 10 元、少卖 10 杯”本身不含判断所需的信息，必须各自除以自己的基数。用销量变化百分比除以价格变化百分比：第一次是 $10\%\div50\%=0.2$，第二次是 $25\%\div12.5\%=2$。

收不收得回，看 $1-E_d$ 的符号

营业额是价格乘销量：

$R=P\times Q$

价格动一点，两头一起动：价格那一头往上拉，销量那一头往下拽。价格涨 $1\%$，收入先得到 $1\%$；销量若掉 $x\%$，收入再减掉 $x\%$。$x$ 比 1 大还是小，决定最后往哪边走。

写成式子（用 $dR=Q\,dP+P\,dQ$，两边除以 $R=PQ$，再代入 $\frac{dQ}{Q}=-E_d\cdot\frac{dP}{P}$）：

$\frac{dR}{R}=\left(1-E_d\right)\frac{dP}{P}$

涨价时 $\frac{dP}{P}>0$，于是 $E_d<1$ 收入增加，$E_d>1$ 收入减少，$E_d=1$ 收入不动——那就是营业额的顶点。咖啡例子里 60 元卖 60 杯、营业额 3600 元，正是这个位置。

这个比值有个正式名字。需求价格弹性（需求价格弹性系数）等于需求量变化百分比除以价格变化百分比：

$E_d=-\frac{\Delta Q/Q}{\Delta P/P}$

价格和需求量总是反向变动，比值天然带负号，教材习惯取绝对值、报正数，本篇后面也都用绝对值。按大小分五类：大于 1 叫 富有弹性，小于 1 叫 缺乏弹性，等于 1 叫 单位弹性，等于 0 叫 完全无弹性（价格怎么动，需求量都不变），大到极点叫 完全弹性。

同一条直线，弹性处处不同

取一条直线需求曲线：

$Q=120-P$

它的斜率恒为 $-1$，价格每降 1 元，销量总多 1 件。但它的弹性并不恒定，点弹性等于 $\frac{P}{Q}$（因为 $\left|\frac{dQ}{dP}\right|=1$）：

营业额从 2000 升到 3600，再落回 2700；弹性则从 0.20 一路升到 3.00。同一条线，前半段涨价多赚，后半段涨价少赚。

斜率不变，弹性为什么在变？因为弹性不是“变化有多快”，而是两个百分比之比，而这两个百分比的分母分别是价格和销量自己。在曲线的左上端，销量基数小，1 件的变化占销量的一大块（30 件里差 1 件就是 3.3%），而价格基数大，1 元只占价格的约 1.1%，一除得 3。走到右下端正好相反：价格基数小，1 元占的百分比大；销量基数大，1 件占的百分比小，弹性就小。

这也带出“薄利多销”的真正条件：只有需求富有弹性时，降价才会让营业额变大；在缺乏弹性的区间里降价，等于白送。

两种算法：点弹性和弧弹性

算百分比时，分母到底取起点还是终点？

以 20 元到 30 元这一段为例。从 20 元算起：销量变化 $10/100=10\%$，价格变化 $10/20=50\%$，弹性 $0.2$。反过来从 30 元算起：销量变化 $10/90=11.1\%$，价格变化 $10/30=33.3\%$，弹性 $0.33$。同一段区间，涨价和降价算出两个答案。

弧弹性（中点法）就是为消掉这个方向依赖设计的：分母不取起点，改取两个端点的平均值。

$E_d=-\frac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\frac{(P_1+P_2)/2}{(Q_1+Q_2)/2}$

代入 20 元与 30 元：销量差 10、平均 95，价格差 10、平均 25，弹性 $=\frac{10}{95}\div\frac{10}{25}=0.26$，正反两个方向算出来一样。同样方法算 80 元与 90 元这一段：$\frac{10}{35}\div\frac{10}{85}=2.43$，和上表在那一带的量级一致。

点弹性 则把价格变动压到无穷小，用导数代替差分：

$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$

给出函数式就能算任意一个位置。我们的 $Q=120-P$ 里 $\frac{dQ}{dP}=-1$，所以 $P=60$、$Q=60$ 处 $E_d=1$；$P=20$、$Q=100$ 处 $E_d=0.2$，正是表里那一列。

两者分工很清楚：给了函数式，或者问的是“某一点”，用点弹性；只给了两个价格—销量组合、问这一段区间，用中点法。数值可以差得挺远（60 元处点弹性正好是 1，60 元到 50 元这一段用中点法只有 0.85），但对“该涨还是该降”的判断不会打架。题目若只问营业额怎么变，最稳的做法是不绕弹性，把两个价格下的价格乘销量各算一遍：前面那个式子在小幅变动时最准，幅度大了会有偏差，方向仍然可靠。

弹性大小由什么决定

几条因素其实指向同一件事：消费者有多容易换掉它、或者少买它。

• 替代品越多、越相近，弹性越大。 隔壁开着奶茶店，咖啡一贵，人就走了。
• 用途越多，弹性越大。 价格一动，更多边缘用途先被放弃。
• 越是必需品，弹性越小。 救命的药再贵也得买。
• 支出占预算的比重越小，弹性越小。 一袋盐涨价照买；买房买车则会直接改变决策。
• 时间越长，弹性越大。 油价涨了短期照开车，长期可以换小排量车、换住处、改坐地铁。

三个能直接用的判断

第一，先把两边都换成百分比再比。“涨 10 元、掉 10 杯”本身什么都说明不了。

第二，别把斜率当弹性。 直线需求曲线斜率从头到尾不变，弹性却从接近 0 变到很大，并在正中间那一点等于 1，营业额在那一点最高。所以“提价必然增收”和“降价必然增收”都不成立：缺乏弹性区间涨价增收，富有弹性区间降价增收。

第三，这些结论都建立在“其他条件不变、只沿同一条需求曲线移动”上。 如果涨价的同时做了广告，或者整条街的店都跟着涨，消费者的处境变了，需求曲线整体移动，营业额的变化就不能只由弹性解释。

一句话收束：弹性不是“卖得多不多”，而是“消费者跑得快不快”；涨价能不能多赚，看的是消费者跑得比你涨得快，还是慢。