# 夹爪合上了，为什么杯子还是滑掉：抓取里的形封闭与力封闭

从摩擦锥和接触点位置两个条件出发，讲清“碰到”与“抓住”的差别，以及为什么操作比移动更难

> 机器人抓取 · 力封闭 · 摩擦锥 · 机器人操作 · 约 6 分钟 · 10 月 22 日

## 本篇要点

1. “碰到”只是两个表面挨上；稳定抓取要同时满足位置条件（接触点法向堵住物体所有可动方向）和力条件（各接触点摩擦锥合起来覆盖全部外力与力矩）。
2. 摩擦锥由 $f_t\le\mu f_n$ 定义，半角为 $\arctan\mu$；同样握力下摩擦系数越大能承受的侧向力越大，这是夹爪指垫用软橡胶的原因。
3. 形封闭需要平面 4 个、空间 7 个点接触，且只是必要条件；球面无法被形封闭，两指夹球会绕连线轴转动就是同一现象。
4. 有摩擦的力封闭，空间物体 3 个硬点接触即可，软指尖 2 个即可，因为接触面能提供绕法向的力矩。
5. 力封闭只由接触位置、法向和摩擦系数决定，不保证机器人能发出足够握力或关节力，所以“定义上抓得住”不等于“实际抓得住”。
6. 操作比移动难，难在接触会突变、接触瞬间视觉被遮挡，且物体属性事先未知、误差后果更严重。

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机械臂去拿桌上的马克杯。摄像头找到杯子，手腕摆到杯壁两侧——这一步在[上一篇](https://pangzhengboyin.com/articles/joint-space-vs-task-space-inverse-kinematics-a0af582a)里拆过：末端位姿是 6 个数，逆运动学把它解成各关节角度，最后那 1 维动作是夹爪开合。手指闭合，指垫确实贴上了杯壁。然后手臂抬起：杯子没起来，或者更糟，被带起来半秒，滑出去摔了。

“碰到了”和“抓住了”之间，差的到底是什么？

## 先用手做三个实验

找三样东西，各捏一次。

捏住一张纸的两面，捏紧提起来：纸跟着走；放松一点，纸在指间滑。

用同样姿势捏一块肥皂：肥皂滑得多，要明显捏得更紧才不掉。

两指夹住一颗弹珠，轻轻一搓：珠子转起来，但不会掉。

三个观察分属两件不同的事。纸能提起来，是压得够紧——**力**够。肥皂要更大力，因为表面摩擦小，同样的力能承受的侧向拉扯更小。弹珠会转，是因为两指只挡住了一些方向，绕两指连线那根轴的转动没人管——**方向**没挡全。

所以“抓住”要同时满足两个条件：几何上挡住物体想动的方向，力上能抵消任何想把物体推走的力。它们分别叫形封闭和力封闭。

## 力的这一侧：摩擦锥

指头接触物体时只能推、不能拉，这叫**单边约束**。推的方向也受限：垂直于表面的法向力可以任意大，沿表面的切向力却有上限，

$$f_t \le \mu f_n$$

$\mu$ 是摩擦系数。把允许的力画出来，它们围成一个以法线为轴、以接触点为顶点的锥，叫**摩擦锥**，半角为

$$\alpha=\arctan\mu$$

意思是：斜着推也抓得住，但偏离表面法线超过 $\alpha$ 就会滑。$\mu=0.4$（略滑的书皮）对应 $\alpha\approx22^\circ$；$\mu=1$（硅胶指垫）对应 $45^\circ$，锥宽了一倍多。

算一遍夹书。一本 0.5 kg 的书，重力约 4.9 N。两指正对夹住，每侧法向力 $N$，两侧摩擦加起来最多 $2\mu N$，要托住书就得 $2\mu N\ge4.9$ N：

- $\mu=0.4$：$N\ge6.1$ N，也就是每侧要用相当于托起 0.6 kg 的力去压这本 0.5 kg 的书；
- 换成 $\mu=0.8$ 的硅胶垫：$N\ge3.1$ N，少了一半。

这就是夹爪指垫几乎总是软橡胶而不是抛光钢的原因：不是为了“手感好”，而是直接抬高 $\mu$，同样的握力能扛更大的侧向力，或者用更小的力夹起同样的东西——后者对易碎物才关键。

再换个失败方式：把两指挪到书的下缘往上提。力够了，书却会翻过去。这不是压得不够紧，是**力矩**没人管。力封闭要管的正是这个。

## 位置的这一侧：形封闭

先走个理想化版本：假设接触完全不打滑，像把零件放进夹具。

物体在空间里只有 6 种独立动法：三个方向平移、绕三根轴转动。每个接触点只能挡住“往物体里压”的那一个方向，要把 6 个方向全堵死，按“$n$ 维空间至少需要 $n+1$ 个向量”来数，平面物体至少 4 个点接触，空间物体至少 7 个 [2][3]。这个“7”是一百多年前的结论，而且只是必要条件：七个点全落在立方体同一面上，照样夹不住 [3]。

更好玩的是反例：球。不管用多少个点去夹一个光滑的球，它总能绕某根轴转起来——球面上没有哪处凸起能顶住转动，所以球**永远**不能形封闭 [2]。两指夹弹珠会搓得转，就是这件事的弱化版。

## 力封闭：把两个条件合成一个

真实抓取靠摩擦，不必卡死。条件变成：摩擦锥里能取的每一种接触力，都对物体产生一个“力＋力矩”的合成作用（英文叫 wrench）；把各接触点能产生的推动合起来，看能否覆盖整个 6 维空间。能，就叫**力封闭**——外界不管从哪个方向推、绕哪根轴拧，都存在一组手指力抵消它 [1]。

由此得到三个不太直觉的结论。

**有摩擦时需要的接触点少得多。** 空间物体用硬点接触，3 个不共线的点就够；指尖若是软的、接触是一小片面，2 个点就够，因为软指尖能额外提供绕法向的力矩 [3]。

**但两根手指夹不住空间物体（硬点接触）。** 绕两指连线那根轴的力矩，没有任何接触点能抵抗——手指在轴上，力臂为零 [1]。二指夹爪抓圆柱看着“夹住了”，其实只锁住部分方向，没掉往往是重力方向、夹爪形状和柔软指垫一起帮了忙。

**力封闭只由接触位置、法向和摩擦系数决定，跟手能不能真使出这么大力无关。** 这条边界最容易忽略：定义上是力封闭，握力不够照样滑；关节发不出足够挤压也照样抓不住 [1]。

这也解释了流水线上大量 pick-and-place 为什么不需要灵巧手：平行夹爪只有开合一个自由度，抓哪儿由手臂摆位决定，位置好控；软指垫抬高 $\mu$；物体形状、重量、姿态一辈子不变。这套组合在固定场景里够用而且便宜——困难从“物体换了一个”开始。

## 为什么这件事比移动难

四足机器人满地跑已不稀奇，为什么抓个杯子还这么难？差别不在运动复杂程度，在接触的性质。走路时脚和地面的接触持续而稳定，地面属性大致已知，摄像头也不被自己的手挡着。抓取时：

**接触会突变。** 粘住和打滑、接触和分离是两套不同的方程，切换瞬间动力学不连续，上一刻最优的动作下一刻可能正好是错的；接触点一多，可能的模式组合迅速增长 [4]。

**最需要精确信息的时刻偏偏看不见。** 手指快要接触物体那一瞬，摄像头被手和物体自己挡住，而这时恰好最需要知道接触点位置和力 [4]。

**被操作的物体不在图纸上。** 形状、质量分布、摩擦系数、软硬事先不知道，运行中也测不准；而且误差的后果不对称——移动时估偏一点顶多走歪，边走边重新看能纠回来，抓取时差一点就是掉落或碰撞 [4]。

```mermaid
flowchart LR
  A["夹爪碰上物体"] --> B["接触点与法向：能挡住哪些方向"]
  A --> C["摩擦锥：每个点能施加哪些力"]
  B --> D["合起来能否覆盖全部外力与力矩"]
  C --> D
  D -->|"不能"| E["打滑、绕某轴转、翻转"]
  D -->|"能，即力封闭"| F["理论上抓得住"]
  F --> G{"握力与关节能力够不够"}
  G -->|"不够"| E
  G -->|"够"| H["真的抓住"]
```

## 一句话收束

碰到只是两个表面挨上了。抓住要求接触点的位置和法向堵住物体所有想动的方向，并且各接触点摩擦锥合起来能抵消任何外来的力与力矩：前一个条件解释为什么球永远夹不死、两指夹弹珠会转，后一个解释为什么肥皂要捏更紧、夹书夹哪一侧很重要。而“定义上抓得住”和“实际抓得住”之间，还隔着握力、关节能力，以及对一个你并不了解的物体的猜测。

## 术语表

- 单边约束：接触只能推不能拉，接触力只能是压力，因此所有可能的力方向都落在一个锥内。
- 摩擦锥：一个接触点能施加的全部力构成的锥形集合，锥轴是表面法线，半角为 $\arctan\mu$；需要的力落到锥外，接触点就打滑。
- 形封闭：仅靠接触点的几何位置就完全卡死物体，空间物体至少需要 7 个点接触，球永远做不到。
- 力封闭：各接触点在摩擦锥内取力，合起来能抵消任意外力与力矩；判据只取决于接触位置、法向和摩擦系数，不管手能否真的发出这些力。

## 来源

1. [Modern Robotics 12.2.3 Force Closure — 力封闭的定义与判据，以及它不保证手指能发出足够力](https://modernrobotics.northwestern.edu/nu-gm-book-resource/12-2-3-force-closure/)
2. [Modern Robotics 12.1.7 Form Closure — 形封闭至少需要 n+1 个点接触（平面 4、空间 7），球无法形封闭](https://modernrobotics.northwestern.edu/nu-gm-book-resource/12-1-7-form-closure/)
3. [Springer《机器人学手册》抓取章 — 形封闭条件的必要性与不充分性、有摩擦时力封闭所需接触点数](https://www.cse.lehigh.edu/~trink/Courses/RoboticsII/reading/Grasping-Chapter38ofSpringerHanbookOfRobotics_ed2.pdf)
4. [Mason, Toward Robotic Manipulation — 接触带来的建模与感知困难、不确定性](http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/16741-s07/www/Mason2018.pdf)
5. [Modern Robotics 12.2.1 Friction — 库仑摩擦与摩擦锥半角 arctanμ](https://modernrobotics.northwestern.edu/nu-gm-book-resource/12-2-1-friction/)

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原文：https://pangzhengboyin.com/articles/why-grasping-needs-force-closure-a6130817

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