# 素描第六课：圆为什么被压成椭圆，而不是一只橄榄

圆只在倾斜方向被压短、垂直方向长度不变，所以只能是椭圆；扁度由视线与圆面法线的夹角决定，短轴等于长轴乘余弦；橄榄形是两端也被收、两段弧对头接出来的，先定长轴和短轴、再圈外接矩形，在四边中点相切连弧就不会出尖

> 起稿方法 · 透视 · 观察方法 · 绘画入门 · 约 6 分钟 · 10 月 27 日

## 本篇要点

1. 圆在纸上变成椭圆，是因为它只在一个方向上被压缩：顺着倾斜方向的那条直径被压短，与它垂直的那条长度不变，于是形状成了长短轴不等的椭圆。
2. 压缩比由视线与圆面法线的夹角 α 决定，短轴 = 长轴 × cos α；α 为 0 时是圆，接近 90° 时压成一条线，圆面越靠近视平线越扁。
3. 两头尖的橄榄不是画歪的椭圆，而是压缩没有发生：把两端也往里收、两段弧对头接、顺着轮廓描而不设约束，三个动作叠出来的。
4. 椭圆的长轴两端本来就是弯曲最急处、短轴两端最平缓；再急的弯也是光滑的，不是折角。
5. 正确顺序是先定长轴的方向和长度、再按压缩比定短轴、圈出外接矩形，椭圆必与四边中点相切，四段弧在切点处贴着边走，就能得到对称且无折点的形状。
6. 边界：严格透视下长轴会略偏，并把椭圆分成不相等的两半（近的一半更大），小物件和正常视距可按对称处理；扁度只由夹角决定，不由距离决定。

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桌上放一只杯子，你站着往斜下方看它的杯口。那是个正圆，可它在纸上成了一个扁东西。更麻烦的是结果：很多人画出来的是橄榄，两头尖，中间鼓。圆变成椭圆好理解，为什么会变成橄榄，得单独说清楚。

## 先拿一枚硬币做一次实验

把一枚硬币正对着眼睛，它是个圆。然后慢慢把它倒向桌面，圆开始变扁，越倒越扁，最后平躺时成了一条线。

这中间有个细节值得停下来看：**硬币的左右宽度从头到尾没变过**，变小的只有上下高度。你甚至可以用手指比着量，只要硬币没离远，它的横向两端始终落在同样的位置。

它不是整体缩小，也不是四边一起往中间塌。它只在**一个方向**上被压缩，另一个方向原封不动。这个观察就是全部答案的起点。

## 只压一个方向，圆只能是椭圆

圆有无数条直径，长度全都一样。现在压缩其中一个方向：和压缩方向平行的那条直径被压短了，和它垂直的那条正好横在“没被压”的方向上，长度不变。

一条变短、一条不变，而且两者还保持垂直。把端点用光滑曲线连起来，得到的就是**椭圆**：没变短的那条叫**长轴**，被压短的那条叫**短轴**。

反过来看就知道橄榄是怎么来的：如果四个方向同时按比例缩短，得到的是一个更小的圆；如果只把某几段轮廓往里推、两端收窄，得到的就是橄榄或鸡蛋形。**橄榄不是压缩的结果，是压缩没发生、手上却多做了动作的结果。**

## 压多少：夹角决定压缩比

压缩程度由一个角度决定。设 α 是你的**视线**与**圆面正对方向**（垂直于圆面的那条线，叫法线）之间的夹角：

- 视线正对着圆面，α = 0，一点没压，还是圆；
- 视线越来越斜，α 越来越大，越压越扁；
- 视线躺进圆面所在的平面，α = 90°，圆面成一条线。

定量关系很简单：

$$\text{短轴} = \text{长轴} \times \cos\alpha$$

几个能记住的数：α = 45° 时是 0.71，60° 时正好 0.5，75° 时只剩 0.26。这个式子有个直接用处：**扁度是可以现场估的**。桌上的一只杯子，你站着看，视线相当斜，杯口大概落在 2:1 到 3:1 之间；蹲到与杯口齐平，它会扁成一条线。这也是[视平线](https://pangzhengboyin.com/articles/why-parallel-lines-converge-vanishing-point-2c4bf68f)在起作用：圆面越接近视平线，你越是从侧面看它，它越扁。

## 橄榄形是怎么画出来的

知道机制之后，再看那三个常见动作就很清楚：

**以为“斜了就变小了”，把两端也往里收。** 长轴本来就该是全长，可看着“扁”的东西，手下会不自觉把宽也画窄。一收，两端就出了尖。

**用两段弧对头接。** 手腕从左端划到右端，再从右端划回来，每段弧在收笔处都会自然收势、变直，两条弧在端点相遇，就拼出一个折角。

**顺着轮廓描，手上没有约束。** 描边时没有任何东西规定“这里该往哪走”，曲率想怎么变就怎么变。

这里有个容易忽略的事实：椭圆的弯曲程度处处不同，**长轴两端最急，短轴两端最平缓**。所以“最急的弯在两端”本身没错，错在把它画成了尖——再急的弯也是圆的，只是弯得快。

## 先定两条轴，再切四个角

顺序反过来，问题就好办了：不从轮廓开始，从轴开始。

**一、定长轴的方向。** 长轴垂直于这个圆面的中轴在纸上的方向。桌上正放的杯子，中轴是竖的，所以杯口的长轴水平；杯子歪了，长轴跟着转。依据就是前一条：被压缩的方向沿着面倾斜的方向，没被压的那条与它垂直。

**二、定长轴的长度。** 就是它在画面里应有的、没被压的那个宽度，不要因为“斜着看”就画短。这是新手最常犯的错：杯口画得比杯身还窄。用[铅笔量比值](https://pangzhengboyin.com/articles/drawing-proportion-pencil-sighting-9d31fe64)在这里很顺手，量的是“长多少、扁多少”这个比值，不是厘米数。

**三、定短轴。** 过长轴中点画一条垂线，长度 = 长轴 × 你估的压缩比。

**四、圈一个外接矩形**，长边等于长轴，短边等于短轴。椭圆有个好性质：它一定与这个矩形的四条边**相切**，切点正好在每条边的中点。相切是说曲线只碰到直线一下就往回走、不穿过去，所以在切点附近，椭圆几乎与矩形的边重合。

**五、用四条短弧把四个切点连起来。** 每段弧走到切点时，方向要与那条矩形的边平行，再顺着转过去。连接处天然是光滑的，出不了尖。

**六、检查三件事：** 关于长轴对称吗（想象把纸沿长轴对折）；长轴两端有没有折点；短轴两端是不是最平缓——若那里反而最弯，说明轴定反了。

这套办法的意义不只是画椭圆，它把“能不能画准”从手感问题变成了检查问题：你不需要手稳，只需要四个切点定对、每处走向对。

## 这套规则在哪里会不准

上面是按“平行投影”说的。真实的眼睛是透视，有两处边界要知道：

**长轴会略偏，而且不经过圆心的投影。** 严格算下来，透视中的椭圆被长轴分成不相等的两半，靠近你的那半更大一些，偏得越远越明显 [1]。画杯子、画碗看不出来；画很大的圆桌面才需要修。

**形状由夹角决定，大小由距离决定。** 这两件事容易混。远处的杯子杯口更小，但它的扁度不由距离决定，只由视线与那个面的夹角决定。所以“画小一点”和“画扁一点”是两回事。

最后一句提醒：杯口正好落在你眼睛的高度上时，它就该是一条直线。这不是画错，是 α = 90°；硬给它加弧度，整只杯子的结构就散了。

**练习：** 一只杯子放桌上，站着画一次杯口，蹲到与杯口齐平再画一次，站到椅子上俯视画第三次。每次都先标长轴、短轴，写下估的压缩比。蹲下那次应接近一条线，俯视那次应最接近圆；如果三次差不多扁，问题在于你照着记忆画，没在看夹角。

## 思维导图

```mermaid
flowchart LR
  A["杯口的正圆画成了扁的"] --> B["硬币实验：只在一个方向变短"]
  B --> C["一条直径被压短，垂直的那条不变"]
  C --> D["结果只能是椭圆，不是更小的圆"]
  C --> E["橄榄形：两端也被收，等于没压缩"]
  D --> F["短轴 = 长轴 × cos α"]
  F --> G["α 越大越扁，接近 90° 成一条线"]
  F --> H["圆面越靠视平线越扁"]
  D --> I["画法：长轴方向与长度 → 短轴 → 外接矩形 → 切点连弧"]
  I --> J["检查：关于长轴对称、两端无折点、短轴端最平缓"]
  J --> K["边界：透视下长轴略偏；扁度由夹角定，大小由距离定"]
```

## 术语表

- 长轴与短轴：压缩后长度没变的那条直径是长轴，被压短的是短轴，两者仍然垂直。
- 压缩比：短轴与长轴之比，等于视线与圆面法线夹角的余弦，把“看着多扁”变成一个可以估的数值。
- 相切：曲线只碰到直线一下就离开、不穿过去；椭圆与它的外接矩形在四边中点相切，切点附近两者走向几乎重合。

## 来源

1. [Christopher Tyler, Perspective Rules 第 6 条 — 圆经透视投影为椭圆，椭圆中心相对圆心的投影向观察者一侧偏移](https://christophertyler.org/CWTyler/Art%20Investigations/Perspective/PerspectiveRules/PerspectiveRules.html)

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原文：https://pangzhengboyin.com/articles/why-circles-become-ellipses-in-drawing-6ce7c320

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