# 素描第八课：球为什么怎么转都是正圆，而它的交界线是一条内切的椭圆

球的轮廓是视线贴着球面擦过的那圈点，法线就是视线，压扁系数为 1，所以永远正圆；交界线是法线朝向光的另一个大圆，按光与视线的余弦被压扁，长轴恒等于直径因而内切于轮廓，而亮度在交界线前变化最快

> 明暗关系 · 透视 · 观察方法 · 起稿方法 · 约 6 分钟 · 10 月 27 日

## 本篇要点

1. 球没有真正的边，轮廓是视线贴着球面擦过的那圈点，它们组成一个法线恰好等于视线的大圆，压扁系数是 cos 0 = 1，所以球永远画成正圆——这是同一条椭圆规则的极端情形，而非例外。
2. 硬币被压扁，是因为它的圆固定在一个平面上，视线一歪法线就与视线分开角度；球的轮廓圆跟着眼睛移动，永远正对视线。
3. 画球的难点因此不在透视，而在球心位置、半径大小，以及圆必须严格等宽（横、竖、两条对角量下来一样）。
4. 明暗交界线是球面上法线与光线垂直的点，同样是一个半径等于球半径、过球心的大圆，但它的法线是光线，所以要按 cos（光线与视线夹角）被压扁：正面光时与轮廓重合，正侧面光时退化成一条直径长的直线，前斜光时是一段开着的弧。
5. 压扁只缩短短轴，长轴恒等于直径，所以交界线永远内切于轮廓圆；两个接点的连线垂直于光在纸面上的方向，弧朝光的反方向鼓出。
6. 亮度正比于 cos s（s 是离最亮点的角距离），快慢由 sin s 决定：最亮点附近的 10° 只掉约 1.5%，交界线前的 10° 掉约 17%，所以亮部要留平，交界线附近要画重且过渡带窄。
7. 这些结论的前提是光大致从观察者一侧斜射、球在画面中央附近；球靠近画面边缘时，真正的中心投影会让轮廓有极轻微椭化，素描可忽略。

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上一课画瓶子，靠的是“每个截面都是椭圆”这条规则。可桌上放一只橘子或乒乓球时，情况看着像在跟它打架：硬币立起来会变成一条细线，球却怎么转，轮廓都是同一个正圆。

这不矛盾。球身上有两个圆，一个正对眼睛，一个正对光线。前者是你看到的轮廓，后者是明暗交界线。分开看这两件事，画球该操心什么就清楚了。

## 轮廓：视线贴着球面擦过的那一圈

球没有真正的边。从眼睛出发向球面上各个方向画视线，其中有一批正好擦过球面而不穿进去，这些擦过的点连起来，就是你能看到的那圈边界。

视线擦过球面时，那条半径一定与视线垂直——不垂直就穿进去了。所有与视线垂直、长度等于半径的半径，它们的端点落在同一个平面上，组成一个过球心、半径等于球半径的圆，也就是**大圆**（过球心的截面圆，球面上最大的圆）。

现在套[第六课](https://pangzhengboyin.com/articles/why-circles-become-ellipses-in-drawing-6ce7c320)的公式：

$$\frac{\text{短轴}}{\text{长轴}}=\cos\bigl(\text{圆面法线与视线的夹角}\bigr)$$

轮廓圆的法线就是视线本身，夹角为零，余弦等于一，短轴等于长轴——**不压扁。**

所以球的轮廓是正圆，正圆并非规则的例外，而是公式里 cos = 1 的极端情况。硬币为什么会被压扁，也在这里说清了：它的圆固定在某一个平面上，视线一歪，法线与视线就分开了角度。

一句更直观的话：**球的轮廓对应的是眼睛贴上去的那一圈点，并非球的边。** 你走动，那圈贴点跟着你移动，永远正对着视线 [2]。

![同一只球，光源换方向时交界线从近乎直线变成一段弧，轮廓始终是同样大小的圆](https://www.arc.id.au/Images/shadedBall.jpg)

## 因此画球不必做透视修正

球不用算透视，也不必因为“它在画面边上”就把轮廓画扁。真按中心投影算，球在画面边缘时轮廓会有极轻微的椭化 [3]，但那远在素描要管的精度之外。

难处落在两件朴素的事上。**一是球心位置**：先用[第二课](https://pangzhengboyin.com/articles/drawing-proportion-pencil-sighting-9d31fe64)的铅笔量比值定出直径和其他物体的高度比，再在纸上标出球心，用球心到轮廓的距离当半径。**二是这个圆要严格等宽**：横着量、竖着量、两条对角量下来都必须一样长，四条一样才是圆；差一点，眼睛就会读成“这球有点蔫”。

## 交界线：另一个大圆，但它正对的是光

[第五课](https://pangzhengboyin.com/articles/why-terminator-is-not-the-outline-c94aebde)说过，交界线是光线贴着表面掠过的位置，即表面上正对光源的程度降为零的地方。到球上可以算得很具体：**球面上法线与光线垂直的点，都落在同一个过球心、垂直于光线的平面上**，它们组成的，又是一个半径等于球半径的大圆。

它和轮廓圆尺寸相同，区别只在法线：轮廓正对视线，它正对光线。所以它一般不正对眼睛，会被压扁：

$$\text{交界线椭圆的}\ \frac{\text{短轴}}{\text{长轴}}=\cos\bigl(\text{光线与视线的夹角}\bigr)$$

夹角大小决定它在纸上长什么样：

- **光在眼睛附近**：夹角近零，余弦近一，交界线几乎与轮廓重合——可见的半球刚好全被照亮，只剩边上一圈暗。
- **光从正侧面来**：夹角近 90°，余弦近零，短轴被压没了，交界线退化成一条长度等于直径的直线 [1]。
- **常见的前斜上方来光**：比如与视线成 45°，余弦约 0.71，是一段相当开、看得出弯的弧。

有一个不变量：**压扁只缩短短轴，长轴永远等于直径**，因为直径里总有与视线垂直的那个方向。既然长轴等于直径、圆心又与轮廓同心，交界线就永远**内切**于轮廓圆：从轮廓上一点进去，绕一段，从对面的点出来，两端正好搭在轮廓上。

## 交界线落在哪

把光在纸面上的方向想成一支箭头，比如指向右上。那么两个接点的连线与这支箭头垂直，落在左上方和右下方；弧朝箭头的反方向鼓出去，暗部就在那一侧。

光越靠正面，交界线越往外靠、越像围着轮廓的一圈；光越靠侧面，它越平直、越往球心方向靠。

## 亮度在哪一段变化最急

表面上分到多少光，取决于它正对光源的程度。用 s 表示某点离“最亮点”的角距离，亮度正比于 $\cos s$；变化快慢由 $\sin s$ 决定，在最亮点附近接近零，越靠近交界线越接近一。

换成数字：从最亮点往外走 10°，$\cos 10^\circ=0.985$，只掉了约 1.5%；而紧贴交界线前的那 10°，从 $\cos 80^\circ=0.174$ 掉到 0，掉了约 17%，**是前一段的十倍以上**。

这就解释了纸上的现象：亮部一大片几乎是同一个调子，肉眼分不出层次；越过交界线，深浅在很短的距离内急剧变化。所以画法要反着本能来——**亮部敢留平，不塞细碎的灰；交界线一带画重，过渡带窄。** 过渡拉得又长又匀，球就成一只温吞的鸡蛋。

要说清边界：纸上的深浅感受并不严格与这个数字成正比（眼睛对暗部更敏感），但“哪一段最急”不会因此改变。

## 画一只球，按这个顺序

1. **在纸上标一支光向箭头**，后面所有判断都靠它。
2. **定球心与半径**：比值法定直径，标出四个方向的极值点。
3. **从肩部一笔画圆**，横、竖、两条对角量下来等长。
4. **画交界线**：过球心作一条与箭头垂直的直径，两端就是接点；再按[第七课](https://pangzhengboyin.com/articles/center-line-and-cross-sections-for-symmetric-objects-3a4fd49b)的办法画椭圆——长轴等于直径，短轴按余弦定，圈外接矩形，在四边中点相切连弧。
5. **暗部先铺一种灰压平**，再只把交界线附近加深，加深的范围收窄。
6. **查三件事**：轮廓是不是正圆；两端是否落在轮廓上、连线是否垂直箭头；最暗处是否在交界线附近而不在轮廓上。

**练习：**一只橘子，一盏台灯，灯放在左前方、略高于球心。先只画正圆和交界线，转纸核对：两个接点是不是落在与光垂直的两个方向上。再改用手电从正侧面照，重画一条——它应该瘪成接近直线。两遍画完，这条规则就是你自己算出来的，不必再背“球要画圆、交界线要弯”。

## 思维导图

```mermaid
flowchart LR
  A["球面上的两个大圆"] --> B["轮廓圆：法线 = 视线"]
  A --> C["交界线圆：法线 = 光线方向"]
  B --> D["cos 0 = 1，永远正圆"]
  D --> E["不必做透视修正"]
  E --> F["难处在球心、半径、等宽"]
  C --> G["压扁系数 = cos(光与视线夹角)"]
  G --> H["正面光：与轮廓重合"]
  G --> I["正侧光：退化成直径长的直线"]
  G --> J["前斜光：内切的弧"]
  J --> K["长轴 = 直径；接点连线垂直于光的纸上方向"]
  A --> L["亮度 ∝ cos s"]
  L --> M["最亮点附近慢，交界线前快"]
  M --> N["亮部留平，交界线画重、过渡窄"]
```

## 术语表

- 大圆：过球心切出的截面圆，半径等于球半径，是球面上最大的圆；球的轮廓和明暗交界线都是大圆。
- 轮廓圆：视线贴着球面擦过的那圈点组成的圆，圆面法线就是视线，所以永远正对眼睛、不被压扁。
- 压扁系数：圆面被斜看时短轴与长轴之比，等于圆面法线与视线夹角的余弦；轮廓取到 1，交界线取到光与视线的余弦。
- 明暗交界线（球上的）：球面上法线与光线垂直的点组成的圆，把球分成朝光和背光两半，其法线方向就是光线方向。
- 内切：因为压扁不改变长轴，交界线椭圆的长轴恒等于直径，两端都搭在轮廓圆上。

## 来源

1. [The Zone of Light（HueValueChroma）— 球上的交界线是一个圆，可见部分呈一段椭圆；光源几乎完全侧向时交界线近乎一条直线](https://www.huevaluechroma.com/022.php)
2. [How to Draw Circles, Ellipses, and Shading Spheres — 传统素描教材：球在任何位置、任何距离，轮廓都要画成完整的圆](https://howtodrawdat.com/drawing-lessons/things/articles/md-drawing-spheres-circles.html)
3. [2D Polyhedral Bounds of a Clipped, Perspective-Projected 3D Sphere — 真正的中心投影下，偏离画面中心的球轮廓会被压成椭圆](https://jcgt.org/published/0002/02/05/paper.pdf)

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原文：https://pangzhengboyin.com/articles/why-a-sphere-outline-stays-a-circle-f5172cff

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