# 同一组价格和销量，拉氏指数与帕氏指数为什么算出两个不同的涨幅

从“用谁那个篮子结账”讲清基期加权与报告期加权的差别，用一组两商品数据算出 125% 与 114.29%，再说明 CPI 为什么仍选拉氏、代价是什么

> 统计指数 · 经济基础核心概念 · 约 6 分钟 · 10 月 29 日

## 本篇要点

1. 拉氏指数把权数（数量）固定在基期，帕氏指数固定在报告期，两个公式只差一个下标，算出的涨幅却可以差出十个点以上。
2. 用同一组数据（A 涨价 50%、B 不变，消费者从 A 转向 B），拉氏算出 125%，帕氏算出 114.29%，差额来自涨价的 A 在报告期支出中占比从 50% 降到 37.5%。
3. 拉氏回答“维持原来那个篮子要多花多少钱”，帕氏回答“按现在的篮子，过去本来要花多少钱”；固定篮子漏掉替代行为，因此相对生活费用偏高，帕氏偏低。
4. 销售额指数等于帕氏价格指数乘拉氏数量指数，因为中间的交叉项可以对消，所以价格与数量的指数必须一帕一拉配对，否则指数体系不成立。
5. 我国 CPI 采用拉氏公式、每五年轮换一次基期，原因是报告期消费数量无法及时取得，且固定数量才能单纯反映价格变动；代价是替代偏差。
6. 拉氏高于帕氏是常见情形而非定理；把它当物价指数时固定篮子不算错，只有当作生活费用指数时才谈得上高估，且幅度不随时间简单放大。

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先摆一组数字。两种商品，两期价格和销量：

| 商品 | 基期价格 $p_0$ | 基期数量 $q_0$ | 报告期价格 $p_1$ | 报告期数量 $q_1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | 10 元 | 100 件 | 15 元 | 60 件 |
| B | 10 元 | 100 件 | 10 元 | 150 件 |

A 涨价 50%，B 一分没涨。这两样东西合起来，物价到底涨了多少？

按第一种算法，涨 25%；按第二种算法，涨 14.29%。同一张表，没有一个数字算错，差距却有 10 个百分点以上。差别的来源只有一句话：**结账的时候，用谁那个篮子。**

## 先解决“能不能加”

两期的支出总额是 2000 元和 2400 元，涨了 20%。但这个 20% 里混着两件事：东西变贵了，买的件数也变了。要单独看“变贵了多少”，得把“买了多少”摁住不动。

摁住的办法，是先让不能相加的东西变得能相加。1 斤猪肉和 1 部手机没法加，但“100 斤猪肉花的钱”和“3 部手机花的钱”可以加，都是元。国家统计局讲统计指数时用的正是这个例子：不同商品的数量直接加总“毫无意义”，所以要先换算成金额[2]。这个用来换算的乘数，教材叫**同度量因素**——在价格指数里，它就是数量。

于是价格指数的分子分母各是一笔“假设的账单”：两笔账单买的是同一批东西，只是价格按不同时期算。两笔钱数相除，剩下的差异就只能来自价格。

## 两个指数，差别只在一个下标

写成式子：

$$I_p^{L}=\frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0}\qquad I_p^{P}=\frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1}$$

左边是**拉氏指数**（基期加权综合指数），右边是**帕氏指数**（报告期加权综合指数）。两个式子长得几乎一样，区别只在 $q$ 的下标。

翻译成动作：拉氏是“拿基期那个篮子，分别按基期价和报告期价各结一次账”；帕氏是“拿报告期那个篮子，分别按两期价格各结一次账”。篮子不一样，账单不一样，比值自然不一样。

## 同一组数字，结两遍账

基期的篮子是两个 100 件。按基期价结账 2000 元，按报告期价结账 $15\times100+10\times100=2500$ 元：

$$I_p^{L}=\frac{2500}{2000}=125\%$$

报告期的篮子是 60 件 A、150 件 B。按基期价结账 $10\times60+10\times150=2100$ 元，按报告期价结账 $15\times60+10\times150=2400$ 元：

$$I_p^{P}=\frac{2400}{2100}\approx114.29\%$$

差距全在 A 的权数上。拉氏指数里 A 占基期支出的 50%，它涨 50%，就贡献 $0.5\times50\%=25\%$ 的涨幅，B 不动，所以整体 25%。帕氏的篮子已经换过了：A 的支出只占报告期的 $900/2400=37.5\%$，B 顶上来占了 62.5%。涨得多的东西权重掉了，指数自然低一截。

## 差额来自消费者躲开涨价商品

A 从 100 件掉到 60 件，B 从 100 件涨到 150 件，这不是随便编的：A 贵了一半，人就少买 A、多买 B。

拉氏指数假装这件事没发生，还按 100 件 A 去算，于是把“同样的东西变贵了多少”算到了 25%。帕氏用的是人们实际调整之后的篮子，只有 14.29%。所以这两个数回答的是两个不同的问题：

- 拉氏：想维持**原来**那个生活水平，得多花多少钱？答 25%。
- 帕氏：按**现在**这个篮子，过去那些东西本来要花多少钱？答 114.29% 的基期价。

这种差异叫**替代偏差**：固定篮子的指数没算进消费者可以换、会换，因此相对“生活费用”的真实涨幅偏高；反过来，帕氏假定人们早就完成了替代，因此偏低[4]。美国劳工统计局的说法更精确：在给定条件下，拉氏指数的变动是生活费用指数变动的“上界”[3]。

## 销售额指数和两个价格指数并非随便相乘

两期的真实支出相除，得到销售额指数：

$$I_{\text{销售额}}=\frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0}=\frac{2400}{2000}=120\%$$

它等于 125%、114.29%，还是别的？都不是——它等于另外两个指数的乘积。用我们的数验证：

$$114.29\%\times105\%=120\%$$

那个 105% 是 $\frac{\sum p_0 q_1}{\sum p_0 q_0}=\frac{2100}{2000}$，即**拉氏数量指数**。也就是说：

$$I_{\text{销售额}}=I_p^{\text{帕氏}}\times I_q^{\text{拉氏}}$$

这不是巧合，是约分的结果：帕氏的分子 $\sum p_1q_1$ 就是销售额指数的分子，拉氏数量的分母 $\sum p_0q_0$ 就是销售额指数的分母，中间的 $\sum p_0q_1$ 恰好消掉。这也解释了一条常考的结论：**价格这类指数用帕氏、数量指数用拉氏，才能配对成指数体系**；两个都用同一期，乘出来不等于销售额指数，“价格影响”和“销量影响”加起来就对不上总额的变化。

## CPI 偏偏用了拉氏

到这儿会出现一个看起来矛盾的地方：教材说“实际中常用帕氏质量指数计算价格、成本”，可居民消费价格指数（CPI）用的恰恰是拉氏公式。国家统计局的说明写得很直白：我国 CPI 采用拉氏公式编制，每 5 年调整一次基期[1]。

矛盾只在字面上。教材那句“帕氏价格指数常用”，讲的是要把一笔金额的变化拆成“价”和“量”两个因素的时候——那种场合必须让指数体系守恒。而 CPI 不需要拆某个金额，它要回答的是另一个问题：**同样一篮子生活消费品和服务，今天比过去贵了多少。** 这个问题本身就要求篮子固定，而固定篮子的就是拉氏。

统计局给了两条理由[1]：一是**拿不到报告期的数量**，编制指数要及时，报告期居民到底买了多少件还没算清楚，只能先用过去的消费结构做权数；二是**固定数量更有经济含义**，只有假定消费数量不变，指数才单纯反映价格变动，否则里面混进了“买得多了还是少了”。

代价就是前面那十个百分点：拉氏漏掉了人们躲开涨价商品的行为，相对生活费用而言偏高。缓解办法是轮换篮子——我国 CPI 每五年换一次基期，逢 5、逢 0 的年份作为基期年，据此重新选商品、更新权数，统计局公开说明里当前的基期年是 2020 年[1]。篮子五年一换，消费结构变了能跟上，但五年之内的替代行为仍然记不进去。

## 别把结论说死

**“拉氏一定高于帕氏”不成立为定理。** 通常如此，前提是消费者确实躲开了涨价的东西。如果收入上升、偏好变化让人反而更多买涨价的那种，方向就可能反过来[5]。

**“有偏”要看你把它当什么用。** 当作“买同样一篮子东西贵了多少”的物价指数，固定篮子不算错，这是定义；只有被当作“维持生活水平要花多少钱”的生活费用指数时，才谈得上高估，而且高估幅度不会随时间简单放大[4]。

## 一条能用的判断规则

遇到“该用哪个指数”，别背常用配对，先问一句：**这组数字要回答什么问题？**

要拆开“金额变化 = 价格变化 × 数量变化”，就用帕氏价格配拉氏数量，让乘积守恒；要问“同一批东西贵了多少”，就把篮子固定在一期（通常基期，也就是拉氏），并记住它漏算替代；要问“按现在的消费结构，价格相对过去是多少”，用帕氏，并记住它偏低。

## 思维导图

```mermaid
flowchart LR
  A["两种商品两期价格与销量"] --> B["不能直接相加，先乘数量变成金额"]
  B --> C["价格指数是两笔假设账单之比"]
  C --> D["拉氏: 用基期篮子结账"]
  C --> E["帕氏: 用报告期篮子结账"]
  D --> F["125%"]
  E --> G["114.29%"]
  F --> H["差额来源: 消费者躲开涨价商品"]
  G --> H
  H --> I["替代偏差: 拉氏偏高, 帕氏偏低"]
  F --> J["帕氏价格 × 拉氏数量 = 销售额指数"]
  G --> J
  J --> K["配对必须一帕一拉, 否则不守恒"]
  I --> L["CPI 仍用拉氏: 报告期数量拿不到, 固定数量才单纯看价格"]
  L --> M["每五年轮换基期缓解偏差"]
```

## 术语表

- 加权综合指数：把几种不能直接相加的商品各自乘上同一个数量或价格，变成金额再相比，使比值只反映要考察的那一项的变化。
- 同度量因素：让不同商品变得能够相加的那个乘数；在价格指数里就是数量。
- 拉氏指数：把权数固定在基期的加权综合指数，相当于按基期支出份额对各个价格比做加权平均。
- 帕氏指数：把权数固定在报告期的加权综合指数，权数随消费结构变化而变。
- 指数体系：销售额这类总量指数等于价格指数乘数量指数的关系式，只有价格用帕氏、数量用拉氏时才成立。
- 替代偏差：固定篮子的指数没有计入消费者躲开涨价商品的行为，因而相对真实生活费用涨幅偏高。

## 来源

1. [国家统计局：居民消费价格指数（CPI）是如何编制的 — CPI 采用拉氏公式、固定篮子、每五年基期轮换及理由](https://www.stats.gov.cn/zs/tjws/tjzb/202301/t20230101_1903757.html)
2. [国家统计局：统计指数的概念 — 不同商品数量为何不能直接加总](https://www.stats.gov.cn/zs/tjll/tjzs/202302/t20230215_1905782.html)
3. [BLS: Addressing misconceptions about the Consumer Price Index — 拉氏指数是生活费用指数变动的上界](https://www.bls.gov/opub/mlr/2008/08/art1full.pdf)
4. [At What Price? Conceptualizing and Measuring Cost-of-Living and Price Indexes 第 4 章 — 替代偏差的定义与适用边界](https://www.nationalacademies.org/read/10131/chapter/4)
5. [The Consumer Price Index: Conceptual Issues and Practical Suggestions — 拉氏高估、帕氏低估的推理与反向可能](https://doi.org/10.1257/089533003321164921)

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原文：https://pangzhengboyin.com/articles/laspeyres-vs-paasche-index-numbers-cee94def

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