# 政府多花 100 亿，产出为什么不止涨 100 亿：把乘数一轮一轮算到底

从边际消费倾向出发，用等比数列算出政府购买乘数、税收乘数与平衡预算乘数，并说清这套算法在什么条件下成立

> 宏观经济模型 · 经济基础核心概念 · 财政政策 · 约 6 分钟 · 10 月 29 日

## 本篇要点

1. 一笔新增支出会通过“支出即收入”的链条一轮轮传下去，每一轮按边际消费倾向缩水，加总收敛为最初金额的 $1/(1-b)$ 倍。
2. 边际消费倾向 $b=0.8$ 时，政府购买增加 100 亿元使国民收入增加 500 亿元，政府购买支出乘数为 5。
3. 减税的第一轮只有 $b$ 那一部分落到需求上（80 亿元），所以税收乘数为 $-b/(1-b)=-4$，绝对值比政府购买乘数小 1，减税 100 亿元只拉动 400 亿元。
4. 平衡预算乘数恒等于 1：增税抽走的是本来会被储蓄的部分，政府支出全额落到需求上，因此收支等额同增仍有扩张效应。
5. 税收乘数恒为负值，减税时变动额要取负号；可用 $K_G-|K_T|=1$、$K_B=1$ 和换 $b$ 值重算来检查结果。
6. 这套算法以价格不变、存在闲置产能、利率不变、封闭经济、一次性定额税为前提；产能跑满后需求只推价格，长期产出回到潜在水平，乘数效应消失，而利率上升会通过挤出效应打折扣。

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先出一道可以自己动手算的题。

假设某地政府决定拿出 100 亿元修地铁。另一种做法是：不收这 100 亿元，而是通过减税把它留在企业和居民手里。两种做法的财政规模一样，都是 100 亿元。假设这个经济体里，人们每多拿到 1 元可支配收入，就会把其中 0.8 元花掉、0.2 元存起来（这个比例下面记作 $b=0.8$），并且暂时不考虑价格、利率和进口的变化。

问：两种做法分别让国民收入增加多少？

凭直觉，会觉得“政府花 100 亿元，产出就多 100 亿元”。实际结果比这大得多，而且两种做法还不一样。下面把这笔账一轮一轮算完。

## 第一步：把“多花的一笔钱”拆成好几轮

关键在于一句话：**一个人的支出，就是另一个人的收入。** 这句话前面讲 GDP 三种算法时已经出现过——支出法算出来的总量，和收入法算出来的总量必须是同一个数。正因为它成立，同一笔钱才能在人与人之间接力传下去。

那 100 亿元工程款付给施工企业，构成第一轮新增需求。企业拿这笔钱发工资、买材料，工人和供应商手里就多了 100 亿元收入。按 $b=0.8$，他们会花掉 80 亿元——这 80 亿元是建材商、超市、房东的收入，也就是第二轮新增需求。这些人再花掉其中的 80%，即 64 亿元……

于是最初那 100 亿元，被拆成了越来越小的一串数字。**每一轮比上一轮小，是因为每一轮都漏掉一部分：漏进储蓄里**（更完整的模型里，税和进口也是漏损）。

## 第二步：把各轮加起来

| 轮次 | 政府购买增加 100 亿元 | 减税 100 亿元 |
| --- | --- | --- |
| 第一轮 | 100 | 80 |
| 第二轮 | 80 | 64 |
| 第三轮 | 64 | 51.2 |
| 第四轮 | 51.2 | 40.96 |
| 第五轮 | 40.96 | 32.77（约） |
| …… | …… | …… |
| 合计 | 500 | 400 |

这是一个首项为 100、公比为 0.8 的等比数列。项数无限多，但和是收敛的：

$$S=\frac{100}{1-0.8}=500\ \text{（亿元）}$$

验算一下前五轮：$100+80+64+51.2+40.96=336.16$，离 500 还差 163.84，剩下的由后面那些很小的轮次补上。**轮数可以无限多，但越往后数额越小，所以总和有限**——乘数不是“越传越大”，而是每一轮缩水、加起来收敛到一个上限。

## 第三步：写成乘数

把“国民收入变动”与“引起它的政府购买支出变动”相比，就得到**政府购买支出乘数**：

$$K_G=\frac{\Delta Y}{\Delta G}=\frac{1}{1-b}=\frac{1}{1-0.8}=5$$

$$\Delta Y=K_G\times\Delta G=5\times100=500\ \text{（亿元）}$$

这个式子和教材讲投资乘数时的写法完全一样（那一章用 $\beta$ 表示边际消费倾向，含义相同，只是字母不同）。原因很直白：**政府购买和投资的第一轮，都是整额起步**——政府花 100 亿元，第一轮需求就是 100 亿元。

## 第四步：换成减税，为什么少了一轮

减税 100 亿元时，居民和企业的可支配收入多了 100 亿元，但他们不会全部花掉：按 $b=0.8$，只花 80 亿元。所以**第一轮新增需求只有 80 亿元**，之后才是 64、51.2……

减税那一列，正好等于政府购买那一列去掉开头的 100。求和：

$$80\times\frac{1}{1-0.8}=400\ \text{（亿元）}$$

写成乘数：

$$K_T=\frac{\Delta Y}{\Delta T}=\frac{-b}{1-b}=\frac{-0.8}{0.2}=-4$$

**税收乘数带负号**，因为增税让可支配收入减少、需求减少，方向和国民收入相反。所以增税 100 亿元，$\Delta T=+100$，$\Delta Y=-400$ 亿元；减税 100 亿元，$\Delta T=-100$，$\Delta Y=(-4)\times(-100)=+400$ 亿元。**做题时最容易在这里出错：题目说“减税”，你要自己给变动额补上负号，或者直接用“减税＝收入增加 400 亿元”来理解。**

于是第一个问题的答案是：政府购买拉动 500 亿元，减税拉动 400 亿元。**花同样的钱，政府直接买比减税多拉动 100 亿元，差的就是被储蓄漏掉的那一轮。**

这里有一个随时能用来验算的关系：

$$K_G-|K_T|=\frac{1}{1-b}-\frac{b}{1-b}=\frac{1-b}{1-b}=1$$

边际消费倾向取 $0$ 和 $1$ 之间的任何值，政府购买乘数都比税收乘数的绝对值大 1。$5-4=1$。

## 第五步：一边增支、一边增税，净效果是多少

让政府同时增税 100 亿元、增加购买支出 100 亿元，预算仍然平衡，两笔一起算：

$$K_B=K_G+K_T=5+(-4)=1$$

$$\Delta Y=1\times100=100\ \text{（亿元）}$$

**平衡预算乘数恒等于 1，与 $b$ 无关。** 收支相抵却仍有扩张效果，原因还在第一轮：政府多收 1 元税，居民的可支配收入少 1 元，但按 $b=0.8$ 他只少花 0.8 元，还有 0.2 元是从储蓄里省出来的；政府把这 1 元全花出去，第一轮需求净增 $1-0.8=0.2$ 元。这 0.2 元再乘乘数 5，恰好回到 1 元。

## 第六步：算完怎么自查

**看符号。** 扩张性政策（增支、减税）$\Delta Y$ 为正，紧缩性政策为负；税收乘数本身恒为负值。符号错了，往往是漏了减税时的负号。

**看量级。** 用 $K_G-|K_T|=1$ 和 $K_B=1$ 这两个关系对一遍。既然 $|K_T|=K_G-1$，只要 $K_G$ 算对，$K_T$ 不可能算成别的值。

**换两组数试。** $b=0.6$ 时 $K_G=2.5$、$K_T=-1.5$、$K_B=1$；$b=0$ 时人不花任何新增收入，$K_G=1$，只有第一轮。顺着 $b$ 变大，乘数应该越来越大——如果不升反降，公式套错了。

## 这套算法在什么条件下成立

上面每一步都用了没写出来的假设。这些假设不是废话，考试里恰好考“哪句话不对”。

**价格不变、还有闲置产能。** 乘数推导默认“需求增加就换来产出增加”，这对应上一篇[总需求与总供给](https://pangzhengboyin.com/articles/aggregate-demand-supply-short-run-vs-long-run-a6335cbc)里 $SRAS$ 向右上方倾斜的短期。如果产能已经跑满，多出来的需求只推高价格；长期工资调整完，产出回到潜在水平，**乘数效应就消失了**。所以 500 亿元是“短期、有闲置资源”时的上限估计，不是长期增量。

**利率不变。** 政府大量借钱支出，可能把利率推上去，私人投资被挤掉一部分，实际增量小于 5。这叫**挤出效应**，它不否定乘数，只是把乘数打了个折扣。

**封闭经济，且只考虑一次性定额税。** 如果那 80 元里有相当一部分买了进口品，钱就漏到国外，这一轮的接力变短，实际乘数更小。$K_T=-\frac{b}{1-b}$ 严格对应“税收总额一次性变动”；教材也用它说明税率变动的方向，但遇到按比例计税的设定，别指望这个式子给出精确数值。

## 拿到这类题，按这四步走

```mermaid
flowchart LR
  A["读题：哪一笔变了？"] --> B["只变 G：套 1/(1-b)"]
  A --> C["只变 T：套 -b/(1-b)"]
  A --> D["G 与 T 等额同变：套 1"]
  B --> E["乘以变动额，减税时变动额取负"]
  C --> E
  D --> E
  E --> F["自查：符号、KG-|KT|=1、换 b 值验算"]
```

第一步永远是分清**变动的是政府购买、是税收，还是两者同时等额变动**；第二步套对应公式；第三步乘上变动额并处理符号；第四步自查。

一句话收束：**乘数不是政府“变出钱来”，而是同一笔钱在不同人手里接力消费，每轮打八折、加起来收敛成一个倍数**；政府购买第一轮整额起步，减税第一轮先打八折，所以前者乘数比后者大 1；两者等额同时上，净效果恰好等于那笔钱本身。

## 思维导图

```mermaid
flowchart LR
  A["一笔财政支出的接力"] --> B["边际消费倾向 b=0.8"]
  B --> C["各轮：100→80→64→51.2…"]
  C --> D["等比求和 = 100/(1-0.8) = 500 亿"]
  D --> E["政府购买支出乘数 KG=1/(1-b)=5"]
  B --> F["减税：第一轮只有 80"]
  F --> G["税收乘数 KT=-b/(1-b)=-4"]
  E --> H["KG-|KT|=1"]
  G --> H
  E --> I["平衡预算乘数 KB=KG+KT=1"]
  G --> I
  H --> J["自查：符号 / 量级 / 换 b 值"]
  I --> J
  J --> K["前提：闲置产能、利率不变、封闭、定额税"]
  K --> L["长期产能跑满，乘数效应消失"]
```

## 术语表

- 边际消费倾向 $b$：新增 1 元可支配收入中用于消费的比例，剩下的是储蓄；正是这个“漏损”让每轮金额变小、总和收敛。
- 乘数的轮次传导：同一笔钱在不同人手里依次变成支出和收入，每一轮乘以 $b$，加到无穷项后收敛成有限倍数。
- 政府购买支出乘数 $K_G=1/(1-b)$：政府购买第一轮整额起步，故乘数与投资乘数相同。
- 税收乘数 $K_T=-b/(1-b)$：税收变动要先经过一次“按 $b$ 花掉”才变成需求，因此少一轮，方向也与国民收入相反。
- 平衡预算乘数 $K_B=K_G+K_T=1$：政府收支等额同向变动时，国民收入变动恰好等于这笔钱的规模，与 $b$ 无关。
- 挤出效应：政府支出推高利率、挤掉部分私人投资，使实际产出增量小于乘数算出的数值。

## 来源

1. [中级经济基础财政政策乘数考点：政府购买支出乘数、税收乘数、平衡预算乘数的公式与结论](https://www.233.com/zjjjs/jcbiji/202405/03115605383633.html)
2. [经济基础公式汇总，含三个乘数的计算公式与取值示例](https://www.233.com/zjjjs/jingjijichu/xueba/202411/01103206207715.html)

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原文：https://pangzhengboyin.com/articles/fiscal-multiplier-round-by-round-14901ff9

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