政府多花 100 亿，产出为什么不止涨 100 亿：把乘数一轮一轮算到底

先出一道可以自己动手算的题。

假设某地政府决定拿出 100 亿元修地铁。另一种做法是：不收这 100 亿元，而是通过减税把它留在企业和居民手里。两种做法的财政规模一样，都是 100 亿元。假设这个经济体里，人们每多拿到 1 元可支配收入，就会把其中 0.8 元花掉、0.2 元存起来（这个比例下面记作 $b=0.8$），并且暂时不考虑价格、利率和进口的变化。

问：两种做法分别让国民收入增加多少？

凭直觉，会觉得“政府花 100 亿元，产出就多 100 亿元”。实际结果比这大得多，而且两种做法还不一样。下面把这笔账一轮一轮算完。

第一步：把“多花的一笔钱”拆成好几轮

关键在于一句话：一个人的支出，就是另一个人的收入。 这句话前面讲 GDP 三种算法时已经出现过——支出法算出来的总量，和收入法算出来的总量必须是同一个数。正因为它成立，同一笔钱才能在人与人之间接力传下去。

那 100 亿元工程款付给施工企业，构成第一轮新增需求。企业拿这笔钱发工资、买材料，工人和供应商手里就多了 100 亿元收入。按 $b=0.8$，他们会花掉 80 亿元——这 80 亿元是建材商、超市、房东的收入，也就是第二轮新增需求。这些人再花掉其中的 80%，即 64 亿元……

于是最初那 100 亿元，被拆成了越来越小的一串数字。每一轮比上一轮小，是因为每一轮都漏掉一部分：漏进储蓄里（更完整的模型里，税和进口也是漏损）。

第二步：把各轮加起来

这是一个首项为 100、公比为 0.8 的等比数列。项数无限多，但和是收敛的：

$S=\frac{100}{1-0.8}=500\ \text{（亿元）}$

验算一下前五轮：$100+80+64+51.2+40.96=336.16$，离 500 还差 163.84，剩下的由后面那些很小的轮次补上。轮数可以无限多，但越往后数额越小，所以总和有限——乘数不是“越传越大”，而是每一轮缩水、加起来收敛到一个上限。

第三步：写成乘数

把“国民收入变动”与“引起它的政府购买支出变动”相比，就得到 政府购买支出乘数：

$K_G=\frac{\Delta Y}{\Delta G}=\frac{1}{1-b}=\frac{1}{1-0.8}=5$

$\Delta Y=K_G\times\Delta G=5\times100=500\ \text{（亿元）}$

这个式子和教材讲投资乘数时的写法完全一样（那一章用 $\beta$ 表示边际消费倾向，含义相同，只是字母不同）。原因很直白：政府购买和投资的第一轮，都是整额起步——政府花 100 亿元，第一轮需求就是 100 亿元。

第四步：换成减税，为什么少了一轮

减税 100 亿元时，居民和企业的可支配收入多了 100 亿元，但他们不会全部花掉：按 $b=0.8$，只花 80 亿元。所以 第一轮新增需求只有 80 亿元，之后才是 64、51.2……

减税那一列，正好等于政府购买那一列去掉开头的 100。求和：

$80\times\frac{1}{1-0.8}=400\ \text{（亿元）}$

写成乘数：

$K_T=\frac{\Delta Y}{\Delta T}=\frac{-b}{1-b}=\frac{-0.8}{0.2}=-4$

税收乘数带负号，因为增税让可支配收入减少、需求减少，方向和国民收入相反。所以增税 100 亿元，$\Delta T=+100$，$\Delta Y=-400$ 亿元；减税 100 亿元，$\Delta T=-100$，$\Delta Y=(-4)\times(-100)=+400$ 亿元。做题时最容易在这里出错：题目说“减税”，你要自己给变动额补上负号，或者直接用“减税＝收入增加 400 亿元”来理解。

于是第一个问题的答案是：政府购买拉动 500 亿元，减税拉动 400 亿元。花同样的钱，政府直接买比减税多拉动 100 亿元，差的就是被储蓄漏掉的那一轮。

这里有一个随时能用来验算的关系：

$K_G-|K_T|=\frac{1}{1-b}-\frac{b}{1-b}=\frac{1-b}{1-b}=1$

边际消费倾向取 $0$ 和 $1$ 之间的任何值，政府购买乘数都比税收乘数的绝对值大 1。$5-4=1$。

第五步：一边增支、一边增税，净效果是多少

让政府同时增税 100 亿元、增加购买支出 100 亿元，预算仍然平衡，两笔一起算：

$K_B=K_G+K_T=5+(-4)=1$

$\Delta Y=1\times100=100\ \text{（亿元）}$

平衡预算乘数恒等于 1，与 $b$ 无关。 收支相抵却仍有扩张效果，原因还在第一轮：政府多收 1 元税，居民的可支配收入少 1 元，但按 $b=0.8$ 他只少花 0.8 元，还有 0.2 元是从储蓄里省出来的；政府把这 1 元全花出去，第一轮需求净增 $1-0.8=0.2$ 元。这 0.2 元再乘乘数 5，恰好回到 1 元。

第六步：算完怎么自查

看符号。 扩张性政策（增支、减税）$\Delta Y$ 为正，紧缩性政策为负；税收乘数本身恒为负值。符号错了，往往是漏了减税时的负号。

看量级。 用 $K_G-|K_T|=1$ 和 $K_B=1$ 这两个关系对一遍。既然 $|K_T|=K_G-1$，只要 $K_G$ 算对，$K_T$ 不可能算成别的值。

换两组数试。 $b=0.6$ 时 $K_G=2.5$、$K_T=-1.5$、$K_B=1$；$b=0$ 时人不花任何新增收入，$K_G=1$，只有第一轮。顺着 $b$ 变大，乘数应该越来越大——如果不升反降，公式套错了。

这套算法在什么条件下成立

上面每一步都用了没写出来的假设。这些假设不是废话，考试里恰好考“哪句话不对”。

价格不变、还有闲置产能。 乘数推导默认“需求增加就换来产出增加”，这对应上一篇总需求与总供给里 $SRAS$ 向右上方倾斜的短期。如果产能已经跑满，多出来的需求只推高价格；长期工资调整完，产出回到潜在水平，乘数效应就消失了。所以 500 亿元是“短期、有闲置资源”时的上限估计，不是长期增量。

利率不变。 政府大量借钱支出，可能把利率推上去，私人投资被挤掉一部分，实际增量小于 5。这叫 挤出效应，它不否定乘数，只是把乘数打了个折扣。

封闭经济，且只考虑一次性定额税。 如果那 80 元里有相当一部分买了进口品，钱就漏到国外，这一轮的接力变短，实际乘数更小。$K_T=-\frac{b}{1-b}$ 严格对应“税收总额一次性变动”；教材也用它说明税率变动的方向，但遇到按比例计税的设定，别指望这个式子给出精确数值。

拿到这类题，按这四步走

第一步永远是分清 变动的是政府购买、是税收，还是两者同时等额变动；第二步套对应公式；第三步乘上变动额并处理符号；第四步自查。

一句话收束：乘数不是政府“变出钱来”，而是同一笔钱在不同人手里接力消费，每轮打八折、加起来收敛成一个倍数；政府购买第一轮整额起步，减税第一轮先打八折，所以前者乘数比后者大 1；两者等额同时上，净效果恰好等于那笔钱本身。